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第一篇 高等数学1

第一章 函数、极限、连续与求极限的方法1

一、本章知识串讲1

二、大纲考查要点诠释1

（一）函数1

（二）极限的概念与性质3

（三）极限的存在与不存在问题4

（四）无穷小及其阶6

（五）函数的连续性及其判断8

（六）求极限的方法10

三、典型题型分析及解题方法与技巧17

题型（一）求反函数17

题型（二）求复合函数17

题型（三）利用函数概念求函数表达式18

题型（四）求0/0型或∞/∞型的极限18

题型（五）求0∞或∞-∞型的极限20

题型（六）求指数型（1∞，00，∞0）的极限21

题型（七）求含变限积分的不定式的极限21

题型（八） 由极限值确定函数式中的参数22

题型（九）利用夹逼法求极限23

题型（十）求n项和数列的极限23

题型（十一）求n项积数列的极限24

题型（十二）求递归数列的极限25

题型（十三） 利用函数极限求数列极限26

题型（十四）无穷小的比较与无穷小的阶的确定27

题型（十五）讨论函数的连续性与间断点的类型28

题型（十六）极限的证明题29

自测题及参考答案29

第二章 导数与微分概念及其计算31

一、本章知识串讲31

二、大纲考查要点诠释31

（一）一元函数的导数与微分31

（二）多元函数的偏导数、方向导数与全微分35

（三）按定义求导38

（四）基本初等函数导数表与导数四则运算法则38

（五）复合函数的微分法则39

（六）由复合函数求导法则导出的微分法则41

（七）复合函数求导法则的应用 ——变量替换下的偏导数计算46

（八）分段函数求导法46

（九）高阶导数及n阶导数的求法48

（十）方向导数的计算（数二不要求）50

三、典型题型分析及解题方法与技巧51

题型（一）有关一元函数的导数与微分概念的命题51

题型（二）一元函数可导函数与不可导函数乘积的可导性的讨论51

题型（三）求一元各类函数的导数与微分53

题型（四）变限积分的求导57

题型（五）一元函数求导与求微分的综合题58

题型（六）求一元函数的n阶导数59

题型（七）一元分段函数的可导性与导函数的连续性等命题的讨论59

题型（八）有关多元函数偏导数与全微分概念的命题61

题型（九）求二元（三元）各类函数的偏导数与全微分62

题型（十）变量替换下方程式的变形（数二不要求）67

题型（十一）求二元、三元函数的梯度与方向导数（数二不要求）67

题型（十二）有关多元函数的综合题（数二不要求）68

自测题及参考答案69

第三章 一元函数积分及其计算72

一、本章知识串讲72

二、大纲考查要点诠释72

（一）一元函数积分的概念、性质与基本定理72

（二）积分法则77

（三）按函数类的积分法85

（四）广义积分88

三、典型题型分析及解题方法与技巧89

题型（一）有关原函数与定积分概念的命题89

题型（二）积分值的比较或判断积分值的符号90

题型（三）估计积分值91

题型（四）有关原函数的存在性问题91

题型（五）求分段函数的原函数93

题型（六）各类被积函数不定积分的计算93

题型（七）各类被积函数定积分的计算95

题型（八）利用若干积分技巧计算积分98

题型（九）求形如∫ba（f（x）∫xa g（y）dy）dx的积分100

题型（十） 由函数方程求积分101

题型（十一）广义积分的计算102

题型（十二）证明积分等式103

题型（十三）证明积分不等式104

题型（十四）关于变限积分的讨论107

题型（十五）综合题108

自测题及参考答案110

第四章 微分学中的基本定理及其应用112

一、本章知识串讲112

二、大纲考查要点诠释112

（一）连续函数的性质112

（二）微分中值定理及其应用114

（三）利用导数研究函数的变化115

（四）微分中值定理的其它应用120

（五）一元函数的泰勒公式及其应用120

（六）多元函数极值充分判别法122

三、典型题型分析及解题方法与技巧123

题型（一）有关连续函数性质的命题123

题型（二）有关利用导数研究函数的变化的命题125

题型（三）有关泰勒公式及其应用的命题130

题型（四）讨论函数的零点132

题型（五） 用微分学的方法证明不等式141

题型（六）有关泰勒公式的中值θ的性质的命题148

自测题及参考答案150

第五章 向量代数和空间解析几何152

一、本章知识串讲152

二、大纲考查要点诠释152

（一）空间直角坐标系152

（二）向量的概念152

（三）向量的运算153

（四）平面方程、直线方程156

（五）平面、直线之间相互关系的问题157

（六）常用二次曲面的方程及其图形158

（七）空间曲线在坐标平面上的投影160

三、典型题型分析及解题方法与技巧160

题型（一） 向量的运算160

题型（二）求平面方程161

题型（三）求空间的直线方程163

题型（四）求点、直线、平面间的关系164

题型（五）求投影方程165

题型（六）求曲面方程166

自测题及参考答案167

第六章 多元函数积分及其计算168

一、本章知识串讲168

二、大纲考查要点诠释168

（一）多元函数积分的概念与性质168

（二）在直角坐标系中化多元函数的积分为定积分172

（三）重积分的变量替换178

（四）如何应用多元函数积分的计算公式及如何简化计算183

三、典型题型分析及解题方法与技巧192

题型（一）积分值的比较与估计192

题型（二）有关多元函数积分的概念与性质的命题193

题型（三）对称性的应用195

题型（四）交换积分顺序与计算累次积分199

题型（五） 两种坐标系中累次积分的转换202

题型（六）二重积分的计算202

题型（七）三重积分的计算206

题型（八）曲线积分的计算209

题型（九） 曲面积分的计算211

题型（十）证明题与综合题213

自测题及参考答案216

第七章 多元函数积分学中的基本公式及其应用217

一、本章知识串讲217

二、大纲考查要点诠释217

1．多元函数积分学中的基本公式——格林公式，高斯公式与斯托克斯公式217

2．向量场的通量与散度，环流量与旋度218

3．格林公式，高斯公式与斯托克斯公式 的一个应用——简化多元函数积分的计算220

4．用线积分表示平面区域的面积，用面积分表示空间区域的体积223

5．平面上曲线积分与路径无关问题224

三、典型题型分析及解题方法与技巧228

题型（一）格林公式、高斯公式与斯托克斯公式在计算多元函数积分中的应用228

题型（二）平面上第二类曲线积分与路径无关问题与原函数的求法232

题型（三）散度与旋度的计算235

题型（四）综合题236

自测题及参考答案239

第八章 微积分学的应用240

一、本章知识串讲240

二、大纲考查要点诠释240

（一）微分学的几何应用240

（二）积分学应用的基本方法——微元分析法244

（三）积分学的几何应用244

（四）一元函数积分学的物理应用252

（五）多元函数积分学的物理应用（数二不要求）254

（六）一元函数的最大值与最小值问题257

（七）多元函数的最大值与最小值问题259

三、典型题型分析及解题方法与技巧261

题型（—）一元函数微积分的几何应用261

题型（二）一元微积分的物理应用268

题型（三）一元函数的最值问题270

题型（四）综合题272

题型（五）多元函数微积分的几何应用（数二不要求）274

题型（六）多元函数积分学的物理应用（数二不要求）278

题型（七）多元函数的最值问题281

题型（八）综合题（数二不要求）283

自测题及参考答案284

第九章 无穷级数286

一、本章知识串讲286

二、大纲考查要点诠释286

（一）常数项级数的概念与基本性质286

（二）正项级数敛散性的判定287

（三）交错级数的敛散性判别法288

（四）绝对收敛与条件收敛289

（五）函数项级数的收敛域与和函数289

（六）幂级数的收敛域290

（七）幂级数的运算与和函数的性质291

（八）函数的幂级数展开292

（九）幂级数在近似计算上的简单应用293

（十）傅里叶级数293

三、典型题型分析及解题方法与技巧296

题型（一）常数项级数敛散性的判定296

题型（二）求一般函数项级数的收敛域301

题型（三）幂级数有关问题的讨论302

题型（四）常数项级数求和306

题型（五）有关傅里叶级数的命题308

题型（六）证明题与综合题311

自测题及参考答案314

第十章 微分方程316

一、本章知识串讲316

二、大纲考查要点诠释316

（一）基本概念316

（二）一阶微分方程317

（三）可降阶的高阶方程320

（四）线性微分方程解的性质与结构321

（五）二阶和某些高阶常系数齐次线性方程、欧拉方程322

（六）二阶常系数非齐次线性方程323

（七）可化为求解微分方程的两类问题324

（八）一阶常系数线性方程组（数二不要求）325

（九）幂级数解法326

（十）应用问题326

三、典型题型分析及解题方法与技巧327

题型（一）变量可分离的方程与齐次方程的求解327

题型（二）通过简单代换化为变量可分离的方程的求解（数二不要求）327

题型（三）一阶线性方程与可化为一阶线性方程的求解328

题型（四） 全微分方程与可化为全微分方程的求解（数二不要求）329

题型（五） 可降阶的高阶微分方程的求解330

题型（六）二阶线性常系数方程的求解331

题型（七）特殊的变系数二阶线性方程的求解332

题型（八） 已知特解求通解333

题型（九）含变限积分方程的求解333

题型（十）综合题与证明题334

题型（十一）有关微分方程应用题的求解334

自测题及参考答案337

第二篇 线性代数340

第一章 行列式340

一、本章知识串讲340

二、大纲考查要点诠释340

1．行列式的概念340

2．行列式按行（列）展开公式341

3．行列式的性质342

4．几个重要公式343

三、典型题型分析及解题方法与技巧344

题型（一）有关行列式的概念与性质的命题344

题型（二）行列式的计算347

题型（三）含参数行列式的计算351

题型（四）关于｜ A ｜＝0的证明352

自测题及参考答案353

第二章 矩阵及其运算355

一、本章知识串讲355

二、大纲考查要点诠释355

1．矩阵的概念355

2．几类特殊方阵355

3．矩阵的运算356

4．关于逆矩阵的运算规律357

5．关于矩阵转置的运算规律357

6．关于伴随矩阵的运算规律357

7．矩阵A可逆的充分必要条件357

8．初等变换357

9．初等矩阵358

10．矩阵的等价358

11．矩阵方程358

三、典型题型分析及解题方法与技巧358

题型（一）有关矩阵的概念及运算358

题型（二）求方阵的幂360

题型（三）求与已知矩阵可交换的矩阵362

题型（四）有关初等矩阵的命题364

题型（五）矩阵可逆的计算与证明365

题型（六）求解矩阵方程368

自测题及参考答案371

第三章 n维向量与向量空间374

一、本章知识串讲374

二、大纲考查要点诠释374

1．n维向量的概念与运算374

2．线性组合与线性表出374

3．线性相关与线性无关375

4．线性相关与线性表出376

5．向量组的秩与矩阵的秩376

6．矩阵秩的重要公式376

7．向量空间与子空间377

8．基、维数、坐标377

9．基变换与坐标变换377

10．标准正交基与Schmidt正交化378

三、典型题型分析及解题方法与技巧378

题型（一）线性组合、线性相关的判别378

题型（二）线性相关与线性无关的证明382

题型（三）求秩与极大线性无关组386

题型（四）有关秩的证明389

题型（五）关于A＝0的证明390

题型（六）有关向量空间的判定、维数、基与坐标的命题391

题型（七）求过渡矩阵及坐标变换392

题型（八）求标准正交基393

题型（九）有关秩与直线平面的综合题394

自测题及参考答案396

第四章 线性方程组399

一、本章知识串讲399

二、大纲考查要点诠释399

1．线性方程组的各种表达形式399

2．齐次方程组Ax＝0恒有解（必有零解）399

3．如η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系399

4．齐次方程组有非零解的判定400

5．非齐次线性方程组有解的判定400

6．非齐次线性方程组解的结构400

7．克莱姆（Cramer）法则400

三、典型题型分析及解题方法与技巧401

题型（一）线性方程组解的基本概念401

题型（二）线性方程组的求解404

题型（三）含有参数的方程组解的讨论405

题型（四）有关基础解系的证明406

题型（四）有关线性方程组的证明题408

自测题及参考答案411

第五章 n阶矩阵的特征值与特征向量414

一、本章知识串讲414

二、大纲考查要点诠释414

1．矩阵的特征值与特征向量的概念414

2．特征值与特征向量的求法414

3．特征值与特征向量的性质415

4．相似矩阵的概念与性质415

5．矩阵可相似对角化的充分必要条件415

6．化A为对角矩阵A的解题步骤416

7．实对称矩阵必可对角化416

三、典型题型分析及解题方法与技巧416

题型（一）求矩阵的特征值和特征向量416

题型（二）用特征值和特征向量反求矩阵A421

题型（三）求矩阵A中的参数423

题型（四） n阶矩阵A能否对角化的判定424

题型（五）求矩阵A的相似标准形425

题型（六）求相似时的矩阵P427

题型（七）相似对角化的应用428

题型（八）有关特征值与特征向量的证明430

自测题及参考答案431

第六章 二次型434

一、本章知识串讲434

二、大纲考查要点诠释434

1．二次型及其矩阵表示434

2．二次型的标准形434

3．惯性定理435

4．合同矩阵436

5．正定二次型与正定矩阵436

三、典型题型分析及解题方法与技巧436

题型（一）有关二次型基本概念的命题436

题型（二）化二次型为标准形438

题型（三）求解二次型标准形的逆问题442

题型（四）判别二次型的正定性443

题型（五）有关正定性的证明444

题型（六）有关正定矩阵的综合题445

自测题及参考答案446

第三篇 概率统计448

第一章 随机事件与概率448

一、本章知识串讲448

二、大纲考查要点诠释448

（一） 随机事件的关系与运算448

（二）随机事件的概率449

（三）条件概率与全概率公式451

（四）事件的独立性与伯努利公式452

三、典型题型分析及解题方法与技巧453

题型（一） 随机事件间的关系与运算453

题型（二）有关概率的定义与性质的命题454

题型（三）利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率457

自测题及参考答案461

第二章 随机变量的分布与数字特征464

一、本章知识串讲464

二、大纲考查要点诠释464

1．随机变量464

2．分布函数464

3．离散型随机变量465

4．连续型随机变量465

5．几个常见分布466

6．随机变量函数的分布468

7．一维随机变量的数字特征468

三、典型题型分析及解题方法与技巧469

题型（一）确定随机变量概率分布中的未知参数469

题型（二）确定随机变量的概率分布471

题型（三）求随机变量函数的分布474

题型（四）随机变量数字特征的计算477

题型（五）综合应用题479

自测题及参考答案483

第三章 二维随机变量的概率分布及其数字特征486

一、本章知识串讲486

二、大纲考查要点诠释486

1．二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数486

2．二维离散型随机变量486

3．二维连续型随机变量487

4．二维随机变量的条件分布488

5．两个常见的二维连续型随机变量的分布489

6．二维随机变量的协方差、相关系数与相互独立性490

7．随机变量的矩492

8．二维随机变量函数的分布492

三、典型题型分析及解题方法与技巧493

题型（一）有关概率分布的计算493

题型（二）有关分布函数及密度函数的命题495

题型（三）求两个随机变量函数的分布499

题型（四）关于数字特征的命题503

题型（五）应用题与综合题508

自测题及参考答案509

第四章 大数定律和中心极限定理513

一、本章知识串讲513

二、大纲考查要点诠释513

（一）大数定律513

（二）中心极限定理514

三、典型题型分析及解题方法与技巧515

题型（一）切比雪夫不等式与大数定律515

题型（二） 中心极限定理的应用516

自测题及参考答案521

第五章 数理统计的基本概念523

一、本章知识串讲523

二、大纲考查要点诠释523

（一）总体、样本、样本的数字特征523

（二）统计量及抽样分布523

三、典型题型分析及解题方法与技巧526

自测题及参考答案530

第六章 参数估计和假设检验531

一、本章知识串讲531

二、大纲考查要点诠释531

（一）统计估计531

（二）假设检验534

三、典型题型分析及解题方法与技巧535

题型（一）最大似然估计与矩估计535

题型（二）点估计的无偏性与有效性537

题型（三）正态总体期望与方差的区间估计539

题型（四）正态总体期望与方差的假设检验540

自测题及参考答案543