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第1章 矩阵的操作1

1.1 矩阵的定义、元素访问、重置、销毁与显示1

1.1.1 动态矩阵及元素的访问1

1.1.2 关于矩阵的作用域2

1.1.3 空矩阵与矩阵尺寸的重新设置3

1.1.4 矩阵的提前销毁3

1.1.5 矩阵的显示4

1.2 矩阵的整体赋值与均匀分布随机矩阵5

1.2.1 使用初始化函数5

1.2.2 用另一矩阵初始化或整体赋值6

1.2.3 初始化（或调整）为单位矩阵7

1.2.4 让矩阵元素服从［a,b］区间上均匀分布7

1.2.5 产生整数值随机矩阵8

1.3 矩阵的加、减、乘、转置、反号、置零9

1.3.1 矩阵相加9

1.3.2 矩阵的累加10

1.3.3 矩阵相减11

1.3.4 矩阵的累减12

1.3.5 矩阵相乘12

1.3.6 矩阵的累乘14

1.3.7 矩阵乘标量14

1.3.8 矩阵累乘标量15

1.3.9 矩阵倍加另一矩阵16

1.3.10 矩阵的转置17

1.3.11 矩阵反号18

1.3.12 矩阵置零18

1.3.13 去除矩阵的垃圾元素18

1.4 矩阵的初等变换19

1.4.1 矩阵交换两行19

1.4.2 矩阵交换两列20

1.4.3 矩阵倍乘一行20

1.4.4 矩阵倍乘一列21

1.4.5 矩阵行倍加22

1.4.6 矩阵列倍加22

1.5 矩阵行、列的添加、插入与删除23

1.5.1 矩阵添加一零行23

1.5.2 矩阵添加一零列24

1.5.3 矩阵插入一零行25

1.5.4 矩阵插入一零列25

1.5.5 矩阵删除一行26

1.5.6 矩阵删除一列27

1.5.7 获取矩阵的行、列数27

1.6 矩阵取子块与矩阵拼接27

1.6.1 取矩阵的任意子块27

1.6.2 取矩阵的四角块29

1.6.3 取矩阵的连续若干行30

1.6.4 取矩阵的连续若干列31

1.6.5 矩阵的填补（一）32

1.6.6 矩阵的填补（二）33

1.6.7 矩阵的横向拼接（一）34

1.6.8 矩阵的横向拼接（二）35

1.6.9 矩阵的竖向拼接（一）35

1.6.10 矩阵的竖向拼接（二）36

1.7 矩阵的存盘与读取37

1.7.1 矩阵存储为磁盘文件37

1.7.2 读取磁盘文件矩阵38

1.8 矩阵与C/C＋＋数组交换数据41

1.8.1 矩阵串行为C/C+++数组41

1.8.2 C/C+++数组排列成矩阵41

1.9 其他42

1.9.1 方阵的对角线加常量42

1.9.2 矩阵的所有元素加常量43

1.9.3 方阵的迹44

1.9.4 矩阵元素的平均值44

1.9.5 由一个矩阵产生的协方差矩阵45

1.9.6 矩阵的绝对值最大元素及定位46

1.9.7 矩阵的最大元素及定位47

1.9.8 矩阵的绝对值最小元素及定位48

1.9.9 矩阵的最小元素及定位49

第2章 向量的操作50

2.1 向量的定义、元素访问、重置、销毁与显示50

2.1.1 向量的定义、元素访问及作用域50

2.1.2 空向量与向量长度的重置51

2.1.3 向量的提前销毁51

2.1.4 向量的显示52

2.2 向量的整体赋值与随机向量53

2.2.1 使用初始化函数53

2.2.2 用另一向量初始化或整体赋值54

2.2.3 将向量初始化或设置为单位向量55

2.2.4 使向量的所有元素都相同55

2.2.5 使向量的元素为区间的等分点56

2.2.6 一元函数在若干坐标点上的值构成向量57

2.2.7 ［a,b］均匀分布的随机数构成向量58

2.2.8 ［—|N|,|N|］范围内的随机整数值构成向量59

2.2.9 服从正态分布的随机数构成向量60

2.2.10 服从伽马分布的随机数构成向量61

2.2.11 服从贝塔分布的随机数构成向量61

2.2.12 向量数据的频率62

2.3 向量的加、减、乘运算及置零63

2.3.1 向量相加63

2.3.2 向量的累加64

2.3.3 向量相减65

2.3.4 向量的累减65

2.3.5 向量的内积66

2.3.6 向量乘标量66

2.3.7 向量累乘标量67

2.3.8 向量每个元素加上同一标量68

2.3.9 向量倍加另一向量69

2.3.10 向量置零69

2.3.11 两向量的欧氏距离70

2.3.12 去除向量的垃圾元素70

2.4 向量元素的添加、插入、删除71

2.4.1 向量添加一元素71

2.4.2 向量插入一元素71

2.4.3 向量删除一元素73

2.4.4 获取向量的维数73

2.5 向量的拼接、截取和填补74

2.5.1 向量的拼接（一）74

2.5.2 向量的拼接（二）75

2.5.3 截取向量的左段75

2.5.4 截取向量的中段76

2.5.5 截取向量的右段77

2.5.6 向量的填补78

2.6 向量的存盘与读取79

2.6.1 向量存储为磁盘文件79

2.6.2 读取磁盘文件向量80

2.7 向量与C/C＋＋数组交换数据83

2.7.1 向量转换为C/C+++数组83

2.7.2 C/C+++数组转换成向量84

2.8 其他85

2.8.1 向量元素的均值85

2.8.2 向量元素的方差85

2.8.3 向量的绝对值最大元素及定位86

2.8.4 向量的绝对值最小元素及定位86

2.8.5 向量的最大元素及定位87

2.8.6 向量的最小元素及定位88

2.8.7 向量元素按升序排列89

2.8.8 向量元素按降序排列89

2.8.9 一个实数的区间定位90

2.8.10 计算n次二项展开式的系数91

2.8.11 向量的逆转92

2.8.12 向量的移位93

第3章 矩阵与向量的关联操作95

3.1 矩阵添加和插入指定的行列95

3.1.1 矩阵添加指定行95

3.1.2 矩阵添加指定列95

3.1.3 矩阵插入指定行96

3.1.4 矩阵插入指定列97

3.2 矩阵行列的设置与提取98

3.2.1 替换矩阵的一行98

3.2.2 替换矩阵的一列98

3.2.3 提取矩阵的一行99

3.2.4 提取矩阵的一列100

3.3 矩阵与向量相乘101

3.3.1 列向量右乘矩阵101

3.3.2 行向量左乘矩阵101

3.3.3 行、列向量同时左右乘矩阵102

3.3.4 两向量相乘产生矩阵103

3.4 其他104

3.4.1 产生一系列多维正态随机向量104

3.4.2 提取方阵的对角线构成向量105

3.4.3 设置方阵的对角线106

3.4.4 方阵的对角线加向量107

3.4.5 方阵的对角线减向量107

3.4.6 矩阵的各行累加构成向量108

3.4.7 矩阵的各列累加构成向量108

3.4.8 矩阵的元素串行成向量109

3.4.9 向量排列成矩阵109

第4章 矩阵的数值分析111

4.1 矩阵的行列式、秩、值空间和核空间、范数、条件数111

4.1.1 方阵的行列式111

4.1.2 矩阵的秩112

4.1.3 矩阵的值空间113

4.1.4 矩阵的核空间114

4.1.5 矩阵的1-范数115

4.1.6 矩阵的∞-范数115

4.1.7 矩阵的2-范数115

4.1.8 矩阵的条件数116

4.2 矩阵分解117

4.2.1 对称正定矩阵的Cholesky分解117

4.2.2 一般对称矩阵的强迫正定Cholesky分解119

4.2.3 “高型”矩阵的QR分解121

4.2.4 任意矩阵的奇异值分解123

4.3 矩阵的特征值和特征向量125

4.3.1 对称矩阵的特征值及特征向量125

4.3.2 一般方阵的特征值（包括复特征值）127

4.3.3 指定方阵的一个实特征值，求相应的一个实特征向量128

4.3.4 指定方阵的一个复特征值，求相应的一个复特征向量129

4.4 矩阵的逆与伪逆（广义逆）131

4.4.1 矩阵求逆或者判断不可逆131

4.4.2 矩阵的伪逆（广义逆）132

4.5 解线性方程组133

4.5.1 系数矩阵为三对角矩阵（追赶法）133

4.5.2 系数矩阵为对称正定矩阵（平方根法）135

4.5.3 系数矩阵为一般的非奇异矩阵（Gauss法，Gauss-Seidel迭代法）137

4.5.4 系数矩阵非方阵的最小二乘解或最小范数解138

4.5.5 系数矩阵为任意矩阵的广义解141

第5章 函数的数值分析143

5.1 一元函数的基本问题143

5.1.1 绘制一元函数曲线143

5.1.2 一元函数的一阶导数、二阶导数146

5.1.3 一元函数的零点148

5.1.4 一元函数的定积分（Romberg法，Gauss法）149

5.1.5 一元函数的含参积分（带单参数）152

5.1.6 一元函数的含参积分（带多参数）154

5.1.7 一元函数的局部极小点156

5.2 一元实系数多项式158

5.2.1 多项式的表示与求值、求导、求积158

5.2.2 多项式的加、减、乘160

5.2.3 多项式的除法161

5.2.4 多项式的所有根（包括复根）162

5.2.5 已知多项式的所有根（包括复根），求多项式系数163

5.2.6 多项式在闭区间上的最大、最小值点165

5.2.7 矩阵多项式165

5.2.8 四种著名的正交多项式167

5.3 样条插值、离散数据的求导和求积169

5.3.1 样条函数与插值169

5.3.2 离散数据求导172

5.3.3 离散数据求积174

5.4 函数逼近、离散数据最小二乘拟合、快速傅里叶变换、向量卷积177

5.4.1 连续函数的多项式最佳平方逼近177

5.4.2 连续函数的多项式最佳一致逼近179

5.4.3 离散数据的多项式最小二乘拟合181

5.4.4 快速傅里叶变换184

5.4.5 两个向量的线性卷积186

5.5 常微分方程和方程组、线性定常系统、二阶线性边值问题187

5.5.1 一阶常微分方程187

5.5.2 一阶常微分方程组190

5.5.3 线性定常系统194

5.5.4 二阶线性微分方程的边值问题197

5.6 多元函数的梯度、二阶导数矩阵、雅可比矩阵199

5.6.1 多元函数在指定点的梯度199

5.6.2 多元函数在指定点的二阶导数矩阵200

5.6.3 一组多元函数在指定点的雅可比矩阵202

5.7 最优化计算203

5.7.1 线性规划203

5.7.2 非线性无约束优化（10种算法）206

5.7.3 非线性约束优化（乘子法、约束变尺度法）215

第6章 matrix、vector新增功能220

6.1 多元函数全局最优计算220

6.2 一元函数全局最优计算222

6.3 共轭投影梯度法224

6.4 变量带上界的线性规划226

6.5 混合整数线性规划228

6.6 0-1线性规划230

6.7 运输问题231

6.8 指派问题233

6.9 离散余弦变换234

6.9.1 Ⅳ型离散余弦变换234

6.9.2 Ⅱ型离散余弦变换235

6.10 函数的傅里叶系数与傅里叶展开237

6.11 阿克玛插值法239

6.12 张成子空间上的投影矩阵239

6.13 方阵的Doolittle分解241

6.14 cuboid（长方体）数据类型及操作242

6.15 新增两个离散数据曲线绘制功能244

6.16 无约束最优化算法梯度表达式输入接口244

6.17 一元函数求导步长修改为可调参数246

6.18 Gauss法积分无须用户切割区间246

6.19 线性规划最优基逆、基指标、非基指标247

6.20 傅里叶变换定义的微调247

6.21 向量、矩阵的基本操作247

6.21.1 向量的循环移位、循环矩阵247

6.21.2 向量的循环卷积248

6.21.3 抽取向量的奇项和偶项249

6.21.4 向量的交错插入249

6.21.5 步进方式产生向量249

6.21.6 从键盘输入矩阵或向量（仅对Console程序有效，对MFC程序无效）249

6.21.7 矩阵的对角连接250

6.21.8 n元函数在矩阵上的函数值向量250

6.21.9 二元函数在平面格点上的函数值矩阵251

6.21.10 矩阵的行移动、列移动251

6.21.11 矩阵的行翻转、列翻转251

6.21.12 矩阵元素设置为常数252

6.21.13 矩阵对角设置功能增强252

第7章 新增的类253

7.1 字符串数学表达式解析253

7.1.1 合法的字符串数学表达式253

7.1.2 字符串数学表达式求值254

7.1.3 字符串一元函数表达式求导数值257

7.1.4 字符串多元函数表达式求梯度、二阶导数矩阵258

7.2 三种数据结构模板259

7.2.1 链表类模板260

7.2.2 队列类模板269

7.2.3 栈类模板274

7.3 信号基本分析工具箱280

7.3.1 生成信号282

7.3.2 查看、读取、存储信号，扫除垃圾284

7.3.3 信号的基本运算与数字特征285

7.3.4 信号的基本操作286

7.3.5 绘制信号288

7.3.6 信号的线性卷积290

7.3.7 双通道完美重构正交滤波器组292

7.4 大整数、分数、分数矩阵、分数向量295

7.4.1 大整数296

7.4.2 分数299

7.4.3 分数向量、分数矩阵305

7.5 复数、复数向量、复数矩阵329

7.5.1 复数330

7.5.2 复向量、复矩阵335

7.6 网络图341

7.6.1 输入网络图344

7.6.2 存储、读取网络图磁盘文件345

7.6.3 修改网络图346

7.6.4 获取网络图的结构信息353

7.6.5 无向连通网络图的最小支撑树358

7.6.6 指定点到任意可达点的最短路径及路长360

7.6.7 任意两顶点之间的最短路长362

参考文献364

附录1 Visual C＋＋编程环境入门365

1 初识Visual C＋＋365

2 键盘输入、屏幕输出371

2.1 用cin输入371

2.2 用cout输出372

3 内联（inline）函数取代含参宏375

4 随时随地定义变量376

5 变量的引用377

6 函数的缺省参数380

7 函数重载382

8 用new和delete动态分配和回收内存384

附录2 注意事项387