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第一篇 数理逻辑3

第1章 命题逻辑3

1.1 命题与联结词3

1.2 命题公式、翻译和真值表8

1.3 公式分类与等价式11

1.4 对偶式与蕴涵式15

1.5 联结词的扩充与功能完全组19

1.6 逻辑运算应用举例22

1.7 公式标准型——范式26

1.8 公式的主范式28

1.9 命题逻辑的推理理论33

1.10 命题逻辑的归结推理39

习题42

第2章 谓词逻辑46

2.1 谓词逻辑中基本概念与表示46

2.2 谓词公式与翻译49

2.3 约束变元与自由变元50

2.4 谓词逻辑的解释与其赋值53

2.5 真与逻辑有效56

2.6 谓词逻辑中的等价式59

2.7 变换规则61

2.8 谓词逻辑的蕴涵式62

2.9 谓词逻辑中公式范式64

2.10 谓词逻辑的推理理论67

2.11 谓词逻辑的归结推理71

习题75

第二篇 集合论81

第3章 集合论的公理系统81

3.1 公理导出和基本概念81

3.2 外延公理与子集公理83

3.3 集合的表示法86

3.4 偶集公理与联集公理87

3.5 极小元与正则公理91

3.6 无穷公理92

3.7 幂集公理93

习题96

第4章 关系与函数99

4.1 有序对99

4.2 笛卡儿积100

4.3 二元关系及其矩阵表示101

4.4 关系的性质107

4.5 等价关系与划分113

4.6 函数115

4.7 递归定义函数118

4.8 序关系119

4.9 代换公理124

习题126

第5章 序数与基数130

5.1 序数130

5.2 基数135

习题140

第6章 选择公理与无穷集合141

6.1 选择公理141

6.2 良序定理142

6.3 无穷集合144

习题147

第三篇 计数151

第7章 计数原理与技术151

7.1 基本计数原理151

7.2 鸽洞原理153

7.3 容斥原理155

7.4 排列与组合156

7.5 递推关系160

习题163

第8章 离散概率166

8.1 随机事件及事件的关系166

8.2 离散集合上的概率168

8.3 事件组合的概率170

8.4 条件概率172

8.5 伯努利试验与二项分布175

8.6 随机变量及其数字特征176

习题181

第四篇 数论与算法185

第9章 整数与整除185

9.1 因数和倍数185

9.2 素数和合数186

9.3 最大公因数和最小公倍数188

9.4 整数分解唯一性定理191

9.5 模运算与同余192

9.6 剩余类和剩余系195

习题198

第10章 整数与算法200

10.1 算法的基本概念200

10.2 欧几里得算法203

10.3 整数的基底b展开算法204

10.4 整数的计算机算术运算算法205

习题206

第11章 数论应用208

11.1 一次同余式208

11.2 一次同余式组210

11.3 二次同余式和勒让德符号213

11.4 雅可比符号220

11.5 数论在计算机科学中的应用221

习题224

第五篇 代数结构229

第12章 代数结构基本概念及性质229

12.1 代数结构的定义与例229

12.2 代数结构的基本性质230

12.3 同态与同构237

12.4 同余关系244

12.5 商代数246

12.6 积代数248

习题249

第13章 半群与群251

13.1 半群和独异点的定义及性质251

13.2 半群和独异点的同态与同构254

13.3 积半群257

13.4 群的基本定义与性质258

13.5 置换群和循环群261

13.6 子群与陪集267

13.7 群的同态与同构274

习题278

第14章 环和域281

14.1 环281

14.2 子环与理想283

14.3 环同态与环同构287

14.4 域289

14.5 有限域290

习题292

第15章 布尔代数295

15.1 布尔代数的基本定义与性质295

15.2 格300

15.3 子布尔代数、积布尔代数和布尔代数同态303

15.4 布尔代数的原子表示304

15.5 布尔代数B r 2307

15.6 布尔表达式及其范式定理309

习题312

第六篇图 论317

第16章 图的基本概念及其矩阵表示317

16.1 图的基本概念317

16.2 链（或路）与圈（或回路）323

16.3 最短链与关键路329

16.4 图的矩阵表示332

习题344

第17章 几类重要的图348

17.1 欧拉图与哈密顿图348

17.2 二部图356

17.3 树360

17.4 图的生成树373

17.5 平面图377

17.6 图的色数问题384

17.7 图的其他一些参数387

习题390

第18章 超图394

18.1 超图的基本概念与术语394

18.2 源于数据库理论的超图396

习题400

参考文献401