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第1章 行列式1

1.1 内容梗概1

1.1.1 二（三）阶行列式1

1.1.2 n阶行列式的定义2

1.1.3 行列式的性质3

1.1.4 行列式的计算4

1.1.5 Cramer法则5

1.2 疑难解析6

1.2.1 如何用MATLAB解题6

1.2.2 行列式和矩阵有何联系6

1.2.3 对角线法则适用于四阶行列式吗7

1.2.4 连加和连乘的性质8

1.2.5 行列式计算的解题信号有哪些9

1.2.6 何时需要行列式中的逆向思维9

1.3 典型例题10

1.3.1 降阶公式和余子式10

1.3.2 逆序数和行列式的定义11

1.3.3 n阶行列式的计算12

1.3.4 Cramer法则的应用19

1.3.5 行列式、矩阵、分块矩阵、特征值和多解方程20

1.4 上机解题20

1.4.1 习题1.120

1.4.2 习题1.222

1.4.3 习题1.323

1.4.4 习题1.424

1.4.5 习题1.531

第2章 矩阵36

2.1 内容梗概36

2.1.1 矩阵的定义36

2.1.2 矩阵的运算37

2.1.3 可逆矩阵38

2.1.4 分块矩阵及其运算39

2.1.5 初等矩阵与矩阵的初等变换40

2.1.6 矩阵的秩42

2.1.7 线性方程组的Gauss消元法43

2.2 疑难解析44

2.2.1 如何使用MATLAB矩阵命令44

2.2.2 为什么矩阵乘法不满足交换律44

2.2.3 同型、相等、等价、相似和合同的定义与记号45

2.2.4 行列式的数乘性质和数乘矩阵的行列式45

2.2.5 如何证明行列式和迹的交换律46

2.2.6 准对角矩阵的运算性质46

2.2.7 初等矩阵与初等变换的性质46

2.2.8 行阶梯形、最简行阶梯形和标准形47

2.2.9 行列式性质、初等矩阵和方程组的初等变换有何联系47

2.2.10 可逆矩阵、非奇异矩阵和满秩矩阵有何差别47

2.2.11 伴随矩阵的性质48

2.3 典型例题48

2.3.1 矩阵乘法与乘方48

2.3.2 行列式、分块矩阵、逆矩阵和伴随矩阵50

2.3.3 秩的不等式54

2.3.4 迹的交换性54

2.3.5 Gauss消元法55

2.4 上机解题56

2.4.1 习题2.156

2.4.2 习题2.257

2.4.3 习题2.363

2.4.4 习题2.465

2.4.5 习题2.569

2.4.6 习题2.675

2.4.7 习题2.779

第3章 向量与线性空间85

3.1 内容梗概85

3.1.1 空间直角坐标系85

3.1.2 向量与向量的线性运算86

3.1.3 向量的标量积、向量积及混合积86

3.1.4 平面与空间直线的方程88

3.1.5 向量组的线性相关性90

3.1.6 向量空间93

3.1.7 线性方程组解的结构94

3.1.8 n维欧氏空间95

3.1.9 线性空间和线性变换97

3.2 疑难解析99

3.2.1 如何用MATLAB实现行阶梯形、高斯消元法和Schmidt正交化99

3.2.2 如何用秩表示三个平面的相交关系99

3.2.3 如何求两异面直线的距离100

3.2.4 向量空间、矩阵空间、线性空间、线性子空间和欧氏空间有何联系100

3.2.5 线性变换、矩阵和初等行变换的联系101

3.2.6 数乘和乘法有何联系101

3.2.7 矩阵等价和向量组等价有何联系101

3.2.8 阶梯形和最简行阶梯形有何应用101

3.2.9 线性变换中的反例101

3.3 典型例题102

3.3.1 直线和平面102

3.3.2 线性相关性、极大线性无关组和线性表示关系102

3.3.3 方程组解的判别和解方程105

3.3.4 内积和正交矩阵107

3.3.5 坐标、过渡矩阵和线性变换的矩阵表示107

3.4 上机解题107

3.4.1 习题3.1107

3.4.2 习题3.2109

3.4.3 习题3.3111

3.4.4 习题3.4114

3.4.5 习题3.5118

3.4.6 习题3.6125

3.4.7 习题3.7127

3.4.8 习题3.8140

3.4.9 习题3.9143

第4章 相似矩阵147

4.1 内容梗概147

4.1.1 方阵的特征值与特征向量147

4.1.2 方阵相似对角化149

4.2 疑难解析150

4.2.1 如何用MATLAB命令求特征值和特征向量150

4.2.2 如何理解特征值和特征向量150

4.2.3 相似变换的本质是什么151

4.2.4 相似对角化有何应用151

4.2.5 特征值的隐含定义有哪些151

4.2.6 正交相似对角化的难点有哪些151

4.2.7 相似对角化的几个典型反例152

4.3 典型例题153

4.3.1 特征值的定义153

4.3.2 特征多项式的相似不变性156

4.3.3 伴随矩阵的特征值156

4.3.4 代数重数、几何重数和相似对角化157

4.4 上机解题160

4.4.1 习题4.1160

4.4.2 习题4.2164

第5章 二次曲面与二次型174

5.1 内容梗概174

5.1.1 二次曲面174

5.1.2 二次型176

5.1.3 正定二次型和正定矩阵178

5.2 疑难解析180

5.2.1 如何用MATLAB求正交变换矩阵180

5.2.2 如何用MATLAB作二次曲面图180

5.2.3 如何求旋转面和投影182

5.2.4 等价、相似和合同的反例182

5.2.5 正定矩阵、半正定矩阵、对称矩阵和方阵有何联系184

5.2.6 正定二次型和半正定二次型的子式有何差异184

5.3 典型例题184

5.3.1 惯性定理184

5.3.2 合同标准形185

5.3.3 正定矩阵的判别187

5.3.4 带参数的二次型188

5.4 上机解题189

5.4.1 习题5.1189

5.4.2 习题5.2198

5.4.3 习题5.3206

第6章 解题技巧212

6.1 行列式和迹212

6.1.1 行列式212

6.1.2 迹214

6.2 秩215

6.3 特征值、特征向量和对角化216

6.3.1 特征值216

6.3.2 特征向量216

6.3.3 对角化217

6.4 隐含定义217

6.4.1 特征值的隐含定义217

6.4.2 秩的隐含定义217

6.4.3 方程解的隐含定义218

6.5 不变性和交换律218

6.5.1 不变性218

6.5.2 交换律219

6.6 规范解题219

6.6.1 Gauss消元法解方程的解题过程219

6.6.2 矩阵对角化的解题过程219

6.6.3 求对称矩阵的解题过程219

6.7 常用反例220

6.7.1 矩阵乘法220

6.7.2 方程的解220

6.7.3 秩、重数、特征值和特征向量220

6.7.4 正交矩阵和半正定矩阵221

6.7.5 两个矩阵的关系221

参考文献222