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第一章 矩阵1

1．1 矩阵的基本概念与基本运算1

一、 矩阵的基本概念2

二、 矩阵的基本运算6

1．2 Gauss消元法27

1．3 矩阵的秩与矩阵的初等变换52

一、 矩阵的秩52

二、 矩阵的初等变换56

三、 初等矩阵59

1．4 可逆矩阵69

1．5 分块矩阵78

一、 分块矩阵的运算79

二、 分块矩阵的初等变换87

1．6 若干特殊矩阵90

一、 对称矩阵与反对称矩阵90

二、 对角矩阵92

三、 三角矩阵96

习题一100

第二章 线性方程组109

2．1 向量的线性相关性109

一、 向量的定义及运算110

二、 向量的线性相关性112

2．2 向量组的秩120

一、 向量组的秩121

二、 矩阵的秩124

2．3 齐次线性方程组解的结构131

2．4 非齐次线性方程组解的结构138

习题二143

第三章 向量空间150

3．1 向量空间与子空间150

一、 数域150

二、 向量空间151

三、 子空间152

3．2 基、维数及坐标154

3．3 欧氏空间164

一、 向量的内积164

二、 向量的度量166

三、 标准正交基168

四、 正交矩阵175

3．4 最小二乘法178

一、向量间的距离179

二、不相容线性方程组的最小二乘解181

习题三183

第四章 行列式189

4．1 排列189

4．2 行列式的定义192

一、 2阶行列式的定义192

二、 3阶行列式的定义194

三、 n阶行列式的定义196

4．3 行列式的性质201

4．4 行列式按一行（列）展开207

4．5 行列式的应用218

一、 求解线性方程组（Cramer法则）218

二、 方阵的行列式223

三、 矩阵可逆的条件226

四、 行列式与矩阵的秩232

五、 行列式与矢量（向量）的叉积234

习题四235

第五章 特征值与特征向量245

5．1 特征值和特征向量245

一、 特征值和特征向量的定义和求法245

二、 特征值和特征向量的性质248

三、 矩阵的相似251

5．2 矩阵的相似对角化254

一、 矩阵可对角化的条件254

二、 相似对角化的方法260

5．3 实对称矩阵的相似对角化264

一、 实对称矩阵的特征值和特征向量265

二、 实对称矩阵的相似对角化267

5．4 应用274

一、 求解线性微分方程组274

二、 Markov过程278

习题五280

第六章 二次型与正定矩阵287

6．1 二次型的定义和矩阵表示287

6．2 二次型的标准形289

一、 配方法293

二、 初等变换法296

三、 正交变换法299

6．3 惯性定理和二次型的规范形304

一、 复二次型304

二、 实二次型305

6．4 实二次型的定性309

6．5 应用举例321

习题六322

附录A Jordan标准形329

一、 Jordan标准形329

二、 不变因子与初等因子331

三、 求方阵的Jordan标准形336

四、 求相似变换矩阵338

习题A342

附录B 线性空间与线性变换344

B．1 线性空间的概念344

B．2 基与维数347

一、 基和维数347

二、 坐标349

三、 基变换与坐标变换350

B．3 线性子空间353

B．4 线性变换的概念360

B．5 线性变换的矩阵364

一、 线性变换的矩阵表示364

二、 线性变换在不同基下的矩阵368

三、 线性变换的特征值与特征向量370

B．6 欧氏空间374

一、 概念374

二、 度量矩阵376

三、 标准正交基377

习题B380

参考文献386