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6 多变量函数的微分学1

6.1 多变量函数的极限与连续1

6.1.1 映射和多变量函数1

6.1.2 平面点集的一些概念4

6.1.3 平面点列极限与二元函数极限5

6.1.4 二元函数的连续性9

6.1.5 区域上定义的连续函数的性质11

6.1.6 n维欧氏空间，Rn到Rm映射的连续性12

6.1.7 连续函数性质定理的证明19

复习思考题21

习题6.122

6.2 多元函数的偏微商与全微分26

6.2.1 偏微商26

6.2.2 全微分28

6.2.3 高阶偏微商30

6.2.4 函数值的近似计算34

6.2.5 误差估计35

复习思考题37

习题6.237

6.3 复合函数的微分法41

6.3.1 复合函数微商的链式法则41

6.3.2 微分的运算，一阶全微分形式的不变性44

6.3.3 复合函数的全微商，偏微商记号的用法46

6.3.4 复合函数的高阶微商48

复习思考题51

习题6.351

6.4 隐函数的微分法54

6.4.1 多元方程所确定的隐函数及其微商54

6.4.2 方程组所确定的隐函数组及其微商58

复习思考题62

习题6.462

6.5 向量值函数的求导，空间曲线的切向量和空间曲面的法向量65

6.5.1 一元向量值函数及其微商65

6.5.2 简单曲线与逐段光滑曲线，空间曲线的切向量67

6.5.3 二元向量值函数的偏微商，空间曲面的法向量70

6.5.4 隐式曲面的法向量，两隐式曲面交线的切向量73

6.5.5 Rn到Rm的映射，雅可比矩阵，雅可比行列式及其性质77

复习思考题78

习题6.579

6.6 多元函数的泰勒公式与极值81

6.6.1 二元函数的泰勒公式81

6.6.2 多元函数的极值85

6.6.3 最小二乘法92

6.6.4 条件极值95

6.6.5 例99

复习思考题104

习题6.6104

复习题106

7 多变量函数的积分学109

7.1 二重积分109

7.1.1 二重积分概念的导出109

7.1.2 二重积分的定义与可积函数111

7.1.3 二重积分的性质112

7.1.4 直角坐标系下二重积分的累次积分法113

7.1.5 极坐标系下二重积分的累次积分法122

7.1.6 二重积分的一般曲线坐标代换128

7.1.7 广义二重积分134

复习思考题138

习题7.1138

7.2 三重积分142

7.2.1 三重积分的概念142

7.2.2 直角坐标系下三重积分的累次积分法144

7.2.3 柱坐标下三重积分的计算150

7.2.4 球坐标下三重积分的计算152

7.2.5 三重积分一般的变量代换155

复习思考题157

习题7.2158

7.3 曲线弧长与第一型曲线积分161

7.3.1 空间曲线的弧长161

7.3.2 第一型曲线积分164

复习思考题168

习题7.3168

7.4 曲面面积与第一型曲面积分169

7.4.1 曲面的面积169

7.4.2 第一型曲面积分174

复习思考题177

习题7.4177

7.5 重积分、线积分与面积分的应用179

7.5.1 重心与转动惯量179

7.5.2 物体的引力185

复习思考题188

习题7.5188

复习题190

8 场论193

8.1 数量场的方向导数与梯度193

8.1.1 场的概念193

8.1.2 数量场的方向微商194

8.1.3 梯度196

复习思考题201

习题8.1201

8.2 向量场的通量与散度202

8.2.1 双侧曲面及其定侧202

8.2.2 向量场的通量206

8.2.3 第二型曲面积分210

8.2.4 散度216

8.2.5 高斯定理217

复习思考题224

习题8.2224

8.3 向量场的环量与旋度228

8.3.1 向量场沿有向曲线的积分及其计算228

8.3.2 第二型曲线积分230

8.3.3 环量与旋度的概念236

8.3.4 格林定理与斯托克斯定理238

8.3.5 旋度的计算247

复习思考题250

习题8.3250

8.4 保守场和无源场254

8.4.1 保守场和势函数255

8.4.2 无源场与向量势263

复习思考题268

习题8.4269

8.5 哈密顿算符及其运算公式271

8.5.1 算符？作用在一个场上的运算272

8.5.2 算符？作用在两个场乘积上的运算273

8.5.3 高斯公式与斯托克斯公式的其它形式276

习题8.5277

8.6 外微分形式279

8.6.1 外微分形式的外积279

8.6.2 外微分形式的外微分281

8.6.3 一般的斯托克斯定理283

习题8.6284

8.7 梯度、散度与旋度在正交曲线坐标系下的表达式285

8.7.1 曲线坐标的概念285

8.7.2 梯度的表达式288

8.7.3 散度的表达式289

8.7.4 旋度的表达式291

习题8.7293

复习题294

9 无穷级数296

9.1 数项级数296

9.1.1 无穷级数的基本概念296

9.1.2 正项级数300

9.1.3 交错级数309

9.1.4 级数收敛的一般判别法311

9.1.5 绝对收敛与条件收敛314

复习思考题321

习题9.1321

9.2 函数项级数323

9.2.1 函数项级数的收敛概念323

9.2.2 函数项级数的一致收敛性及判别法325

9.2.3 一致收敛级数的性质333

复习思考题337

习题9.2338

9.3 幂级数与泰勒展开式339

9.3.1 幂级数的收敛半径339

9.3.2 幂级数的性质343

9.3.3 函数的泰勒展开式347

9.3.4 初等函数的泰勒展开式350

9.3.5 幂级数的运算353

复习思考题355

习题9.3355

9.4 级数的应用356

9.4.1 幂级数应用于近似计算356

9.4.2 司特林公式358

9.4.3 连续函数的多项式逼近362

9.4.4 隐函数存在定理367

习题9.4371

复习题372

10 含参变量的积分375

10.1 广义积分的收敛性判别375

10.1.1 无穷区间积分的收敛判别法375

10.1.2 收敛性的精细判别法380

10.1.3 无界函数积分的收敛判别法386

复习思考题388

习题10.1389

10.2 含参变量的常义积分390

10.2.1 含参变量的常义积分的性质390

10.2.2 积分限依赖于参变量的积分的性质394

习题10.2397

10.3 含参变量的广义积分398

10.3.1 积分的一致收敛概念398

10.3.2 一致收敛积分的性质402

10.3.3 几个重要的积分409

习题10.3413

10.4 欧拉积分415

10.4.1 Г函数的性质415

10.4.2 B函数的性质417

习题10.4422

复习题423

11 富里叶分析425

11.1 周期函数的富里叶级数425

11.1.1 周期函数、三角函数的正交性426

11.1.2 富里叶级数427

11.1.3 偶函数与奇函数的富里叶级数430

11.1.4 任意周期的情形433

11.1.5 有限区间上的函数的富里叶级数436

11.1.6 富里叶级数的复数形式442

11.1.7 贝塞尔不等式444

11.1.8 富里叶级数的收敛性447

复习思考题454

习题11.1455

11.2 广义富里叶级数457

11.2.1 么正函数系457

11.2.2 广义富里叶级数及平方平均收敛460

复习思考题463

习题11.2463

11.3 富里叶变换464

11.3.1 富里叶积分464

11.3.2 富里叶变换467

11.3.3 富里叶变换的性质471

复习思考题475

习题11.3475

复习题476

12 线性微分方程478

12.1 微分方程解的存在性与唯一性定理478

12.1.1 皮卡（Picard）逐次逼近法，微分方程解的存在性与唯一性定理478

12.1.2 欧拉（Euler）折线法485

12.1.3 解的延拓486

12.1.4 解对初值的连续性与可微性488

习题12.1490

12.2 二阶线性微分方程的一般理论491

12.2.1 线性齐次方程解的结构492

12.2.2 线性非齐次方程解的结构500

12.2.3 应用幂级数求解方程503

习题12.2509

12.3 二阶常系数线性微分方程510

12.3.1 常系数线性齐次方程510

12.3.2 常系数线性非齐次方程512

12.3.3 欧拉（Euler）方程517

习题12.3519

12.4 质点的振动521

12.4.1 自由简谐振动521

12.4.2 自由阻尼振动522

12.4.3 无阻尼的强迫振动524

12.4.4 有阻尼的强迫振动526

习题12.4528

12.5 n阶线性微分方程529

12.5.1 n阶线性方程解的结构529

12.5.2 n阶常系数线性方程的求解530

习题12.5532

12.6 微分方程组533

12.6.1 一般概念533

12.6.2 消元升阶法537

12.6.3 第一积分法543

12.6.4 线性方程组解的结构549

12.6.5 代数求解法551

习题12.6559

习题参考答案561